Linear agus homogeneous-eadar-dhealachadh co-aontar den chiad òrdugh. eisimpleirean de fuasglaidhean

Mi a 'smaoineachadh gum bu chòir dhuinn a' tòiseachadh le eachdraidh na glòrmhor matamataigeach mar inneal-eadar-dhealachadh cho-aontaran. Coltach ris a h-uile eadar-dhealachadh agus calculus riatanach, tha na co-aontaran a chaidh a chruthachadh le Newton anmoch anns an 17mh linn. Tha ea 'creidsinn gun robh e a lorg cho cudromach gu bheil fiù' s an dubh-cheileadh teachdaireachd, tha an-diugh faodar eadar-theangachadh mar a leanas: "All laghan nàdar eadar-dhealachadh a mhìneachadh le co-aontaran." Dh'fhaodte gur e cus, ach tha e fìor. Lagh sam bith fiosaigs, ceimigeachd, bith-eòlas, faodar a ràdh leis na co-aontaran.

An àibheiseach a 'cur ris an leasachadh is cruthachadh an teòiridh-eadar-dhealachadh cho-aontaran a bheil matamataig Euler agus Lagrange. Mu thràth anns an 18mh linn a lorg iad agus a leasachadh dè tha a-nis ag ionnsachadh aig an àrd cùrsaichean oilthigh.

Ùr a 'chlach-mhìle ann an rannsachadh eadar-dhealachadh cho-aontaran a thòisich taing do Anri Puankare. Chruthaich e "càileachdail teòiridh-eadar-dhealachadh cho-aontaran", a tha, còmhla ris an teòiridh iom-fhillte gnìomhan caochladairean cur gu mòr ri bunait topology - saidheans fànais agus aitreabhan aca.

Dè tha eadar-dhealachadh cho-aontaran?

Tha mòran dhaoine a tha eagal air an abairt "-eadar-dhealachadh co-aontar". Ach, ann an aiste seo bidh sinn a 'cur a-mach gu mionaideach brìgh seo glè fheumail matamataigeach-inneal a tha an da-rìribh nach eil e cho iom-fhillte' sa tha e coltach bhon tiotal. Gus tòiseachadh a 'bruidhinn mu dheidhinn a' chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontar, feumaidh sibh an toiseach a dhol eòlach air na bun-bheachdan a tha dualach co-cheangailte ri seo definition. Agus bidh sinn a 'tòiseachadh leis an eadar-dhealachadh.

eadar-dhealachadh

Tha mòran dhaoine fios teirm seo bho àrd-sgoil. Ge-tà, fhathast a 'gabhail còmhnuidh air gu mionaideach. Smaoinich an graf a 'ghnìomh. Faodaidh sinn a mheudachadh e gu leithid an ìre gu bheil earrann sam bith de a 'fàs an loidhne dhìreach. Tha e a bheir dà puingean neo-chrìochnach a tha faisg air a chèile. Tha an diofar eadar an co-chomharran (x no y) tha infinitesimal. Agus 'se eadar-dhealaichte is charactaran ainmeachadh dy (-eadar-dhealachadh y) agus dx (an t-eadar-dhealachadh x). Tha e cudromach tuigsinn gu bheil an t-eadar-dhealachadh Chan eil an t-àrd-luach, agus tha seo a 'ciallachadh agus a' phrìomh obair.

Agus a-nis feumaidh sibh beachdachadh air eileamaidean a leanas, a tha, feumaidh sinn a 'mìneachadh an eadar-dhealachadh bun-bheachd co-aontar. Tha e - fo-stuth.

sìolach

Feumaidh sinn uile air a chluinntinn aig an sgoil agus an smuain seo. Tha iad ag ràdh gu bheil an sìolach - 'S e an ìre fàis no lùghdachadh na dreuchd. Ach, tha am mìneachadh seo a 'fàs nas neo-shoilleireachd. Leig dhuinn feuchainn ri mìneachadh an sìolach thaobh an differentials. Rachamaid air ais gu infinitesimal ceada gnìomh le dà phuing, a tha suidhichte aig a 'char as lugha air astar bho chèile. Ach fiù 's taobh a-muigh an astair seo dhreuchd àm gus atharrachadh a thoirt air cuid luach. Agus airson innse gun atharrachadh agus thig suas le fo-stuth a bhiodh air a sgrìobhadh mar an co-mheas de na differentials: f (x) '= DF / dx.

Nise, tha e riatanach beachdachadh air na feartan bunaiteach de na fo-stuth. Chan eil ach trì:

1. Stèidhichte air an t-suim no an urrainn eadar-dhealachadh a 'riochdachadh mar an t-suim no eadar-dhealachadh de na faclairean: (a + b)' = a '+ b', agus (AB) '= a'-b'.
2. Tha an dàrna cuid-seilbh a tha co-cheangailte ri iomadachadh. Obraichean - 'S e an t-suim de na h-obraichean aon dhreuchd eile sìolach: (a * b)' = a '* b + a * b'.
3. Tha fo-stuth air an diofar a dh'fhaodas a bhith air an sgrìobhadh mar a leanas co-aontar: (a / b) '= (a' ba * * b ') / b ^2.

Feartan sin uile a 'tighinn feumail airson a lorg fuasglaidhean-eadar-dhealachadh cho-aontaran a' chiad òrdugh.

Cuideachd, tha fo-stuthan pàirt. Creidsinn againn gnìomh nan z, a tha an crochadh air caochladairean x agus y. Gus obrachadh a-mach na pàirt fo-stuth a 'ghnìomh seo, mar eisimpleir, ann an x, a dh'fheumas sinn a ghabhail an caochladair y airson cunbhalach agus furasta a dhealachadh.

choileanta

Bun-bheachd cudromach eile - riatanach. Gu dearbh tha e a 'choinneamh de fo-stuth. Integrals Tha iomadh seòrsa, ach fuasglaidhean sìmplidh de cho-aontaran-eadar-dhealachadh, feumaidh sinn as Glè bheag indefinite integrals.

Mar sin, dè tha an riatanach? Nach can sinn, tha cuid dàimh f x. Sinn a 'gabhail às an riatanach agus a' faighinn obair F (x) (a tha e gu tric air ainmeachadh mar prìomhadail), a tha stèidhichte air a 'chiad ghnìomh. Uime sin F (x) '= f (x). Tha seo cuideachd a 'ciallachadh gum riatanach de na fo-stuth a tha co-ionnan ris an àireamh tùsail gnìomh.

Anns a 'fuasgladh cho-aontaran-eadar-dhealachadh tha e fìor chudromach a' tuigsinn brìgh agus gnìomh nan riatanach, bhon a tha glè thric a 'gabhail orra a bhith a' lorg fhuasglaidhean.

Tha a 'cho-aontaran a tha eadar-dhealaichte a rèir dè an nàdar. Anns an ath earrann bheir sinn sùil air na seòrsaichean de chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran, agus an uair sin ag ionnsachadh ciamar a fuasgladh orra.

Seòrsaichean-eadar-dhealachadh cho-aontaran

"Diffury" roinn le òrdugh troimh an sàs ann dhaibh. Mar sin tha a 'chiad, an dàrna, an treas no barrachd òrdugh. Faodaidh iad cuideachd a bhith air a roinn ann an grunn chlasaichean: àbhaisteach is pàirt.

Anns an aiste seo, bidh sinn a 'beachdachadh air a' àbhaisteach-eadar-dhealachadh cho-aontaran a 'chiad òrdugh. Eisimpleirean agus fuasglaidhean sinn a 'bruidhinn ann an earrannan a leanas. Tha sinn a 'beachdachadh air an Tac a-mhàin seach gu bheil e na seòrsaichean as cumanta de cho-aontaran. Ordinary a roinn ann an fho-ghnè: an sgaradh le caochladairean, agus homogeneous heterogeneous. An ath bidh thu ag ionnsachadh mar a tha iad eadar-dhealaichte bho chèile, agus ag ionnsachadh mar a fuasgladh orra.

A thuilleadh air sin, tha na co-aontaran urrainn a chur còmhla mar sin, an dèidh a gheibh sinn siostam-eadar-dhealachadh cho-aontaran a 'chiad òrdugh. Leithid sin de shiostaman, tha sinn cuideachd a 'coimhead agus ag ionnsachadh mar a fuasgladh.

Carson a tha sinn a 'beachdachadh a-mhàin a' chiad òrdugh? Seach gu bheil e riatanach airson tòiseachadh le sìmplidh agus cunntas a h-uile co-cheangailte ri eadar-dhealachadh cho-aontaran, ann an aon aiste a tha e do-dhèanta.

Co-aontaran an sgaradh le caochladairean

'S e seo' s dòcha as sìmplidh chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran. Tha iad seo eisimpleirean a dh'fhaodas a bhith air an sgrìobhadh mar: y '= f (x) * f (y). Airson ceistean co-aontar seo a dh'fheumas sinn a 'riochdachadh foirmle de na fo-stuth mar an co-mheas de na differentials: y' = dy / dx. Leis a 'faigh sinn an co-aontar: dy / dx = f (x) * f (y). A-nis faodaidh sinn tionndaidh an dòigh air fuasgladh cheistean coitcheann eisimpleirean: sgaradh na caochladairean ann am pàirtean, ie luath air adhart fad na h-y caochlaideach anns a 'phàirt far a bheil dy, agus cuideachd a' dèanamh an caochlaideach x ... Tha sinn a 'faighinn an co-aontar den fhoirm: dy / f (y) = f (x) dx, a tha air a choileanadh le bhith a' gabhail an integrals na dà phàirt. Na dìochuimhnich mu na daonnan gu bheil thu ag iarraidh a chur an dèidh amalachadh.

Tha fuasgladh sam bith a "diffura" - 'S e gnìomh le x y (ann ar ginideach), no ma tha àireamhach staid, freagairt àireamh. Leig dhuinn sgrùdadh concrait mar eisimpleir air fad a 'chùrsa a' co-dhùnadh:

y '= 2y * pheacadh (x)

Gluasad na caochladairean ann an diofar stiùiridhean:

dy / y = 2 * pheacadh (x) dx

Nis a 'gabhail an integrals. Tha iad uile a gheibhear ann an sònraichte Clàr de integrals. Agus sinn a 'faighinn:

rapal (y) = -2 * cos (x) + C

Ma tha feum air, faodaidh sinn cur an cèill "y" mar dhleastanas de "X". A-nis faodaidh sinn a ràdh gu bheil ar n-eadar-dhealachadh co-aontar tha fuasgladh, mura shònrachadh staid. Faodar an sònrachadh staid, mar eisimpleir, y (n / 2) = e. An uair sin bidh sinn dìreach a 'dol an àite an luach de na caochladairean ann an co-dhùnadh a lorg agus luach an cunbhalach. Ann an ar eisimpleir, tha e 1.

Homogeneous chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran

-Nis air an phàirtean nas iom-fhillte. Homogeneous chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran Faodar a sgrìobhadh ann an riochd choitcheann mar: y '= z (x, y). Bu chòir a thoirt fa-near gun robh an ceart-chosnadh dà caochladairean tha èideadh, agus chan fhaodar a roinn ann an dà a rèir: z x y agus z. Thoir sùil air co-dhiù an co-aontar a th 'homogeneous no nach eil, tha e gu math sìmplidh: tha sinn a' dèanamh an t-ionadachadh x = k * x agus y = y k *. A-nis tha sinn a 'gearradh a h-uile k. Ma tha na litrichean sin a 'tuiteam, agus an uair sin a' co-aontar homogeneous agus faodaidh gu sàbhailte a dhol air adhart gus a fuasgladh. Coimhead air adhart, tha sinn ag ràdh: prionnsabal an fhuasglaidh de na h-eisimpleirean a tha cuideachd gu math sìmplidh.

Feumaidh sinn dèanamh an ionadachadh: y = t (x) * x, far an t - obair sin cuideachd an crochadh air x. An uair sin faodaidh sinn cur an cèill sìolach: y '= t' (x) * x + t. An àite a h-uile seo a-steach againn an toiseach co-aontar a dhèanamh nas sìmplidhe agus tha e, tha an eisimpleir air an dealachadh caochladairean t mar x. Fuasgail agus faigh e an crochadh t (x). Nuair a fhuair sinn e, an àite dìreach a bh 'againn roimhe ionadachadh y = t (x) * x. An sin faigh sinn an crochadh air y x.

Gus a dhèanamh nas soilleire, bidh sinn a 'tuigsinn eisimpleir: x * y' = yx * S y / x.

Nuair a cheartachadh a chur an àite na h-uile a 'crìonadh. Mar sin, an co-aontar e fìor homogeneous. Nis a 'dèanamh eile ionadachadh, bhruidhinn sinn mu dheidhinn: y = t (x) * x agus y' = t '(x) * x + t (x). An dèidh sìmpleachadh a leanas co-aontar: t '(x) * x = -e t. Tha sinn a 'co-dhùnadh fhaighinn sampall sgaraichte le caochladairean, agus sinn a' ^{faighinn: -t S = rapal (C *} x). Feumaidh sinn an t-àite le y / x (oir ma y = t * x, an uair sin an t-= y / x), agus gheibh sinn an ^{fhreagairt: S -y / x = rapal (} x * C).

Linear-eadar-dhealachadh co-aontar den chiad òrdugh

Tha an ùine a 'beachdachadh air cuspair eile farsaing. Bidh sinn a 'coimhead air a' chiad heterogeneous-òrdugh eadar-dhealachadh co-aontaran. Ciamar a bhios iad eadar-dhealaichte bhon dà? Leig e aodann. Linear chiad òrdugh-eadar-dhealachadh ann co-aontaran coitcheann riochd an co-aontar Faodar a sgrìobhadh mar so: y '+ g (x) * y = z (x). Bu chòir a bhith soilleir gun robh z (x) agus g (x) a dh'fhaodadh a bhith daonnan luachan.

Seo eisimpleir: y '- y * x = x ^2.

Tha dà dhòigh gus ceistean làitheil, agus tha sinn òrdachadh Leig dhuinn sgrùdadh a dhèanamh an dà chuid dhiubh. Tha a 'chiad - an dòigh atharraichear an tràighte cunbhalachdan.

Airson co-aontar fhuasgladh ann an dòigh so, tha e riatanach gu chothromachadh a 'chiad làimh dheis gu neoni, agus a' fuasgladh an thoradh air co-aontar a tha an dèidh a 'gluasad a' fàs pàirtean:

y '* x = y;

dy / dx * x = y;

dy / y = xdx;

rapal | y | ^2/2 = x + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = ₁ C * S ^{x2 / 2.}

A-nis tha e riatanach an àite daonnan C ₁ air a 'ghnìomh v (x), a bhios sinn a lorg.

y = ^x2 v * S ^{/ 2.}

Tarraing an àite sìolach:

^{y '= v *' S x2} / ² -x * v * S ^{x2 / 2.}

Agus an àite sin abairtean a-steach a 'chiad cho-aontar:

v * 'S ^{x2 / 2} - x * v * S ^{x2 / 2} + x * v * S ^{x2 / 2} x = ^2.

Chì thu na tha ann an taobh chlì an dà thaobh a tha a 'lùghdachadh. Ma bhios cuid mar eisimpleir cha do thachair sin, agus an uair sin a rinn thu rudeigin ceàrr. Tha sinn a 'leantainn air adhart:

v * 'S ^{x2 / 2} x = ^2.

A-nis tha sinn a 'fuasgladh àbhaisteach co-aontar anns a bheil thu ag iarraidh eadar na caochladairean:

DV / dx = x ^{2 /} S ^x2 / ^2;

DV x = ² * S ^{- x2 / 2} dx.

A thoirt air falbh na phàirt riatanach, tha sinn a 'cur a-steach amalachadh le pàirtean seo. Ach, chan eil seo a 'chuspair an aiste seo. Ma tha ùidh agad, faodaidh tu ionnsachadh air an ceann fhèin a dhèanamh leithid gnìomhan. Chan eil e doirbh, agus le gu leòr sgil agus cùram nach eil ùine caitheamh.

Toirt iomradh air an dàrna dòigh a 'fuasgladh cho-aontaran an inhomogeneous: Bernoulli dòigh. Dè an dòigh-obrach a tha nas luaithe agus nas fhasa - tha e suas dhuibh.

Mar sin, nuair a 'fuasgladh an dòigh seo, feumaidh sinn dèanamh an ionadachadh: y = k * n. An seo, k agus n - cuid dreuchdan a rèir x. An sin fo-stuth a 'coimhead coltach: y' = k '* n + k * n'. Substitute dà substitutions ann an co-aontar:

k '* n + k * n ' x + k * n * x = ^2.

Buidheann suas:

k '* n + k * ( ' n + x * n) x = ^2.

A-nis tha e riatanach a chothromachadh gu neoni, a tha ann am bracaidean. A-nis, ma tha thu a chèile an dà thoradh air co-aontaran, faigh sinn siostam chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran a bhith air a fuasgladh:

n '+ x * n = 0;

k 'n * x = ^2.

Tha a 'chiad co-dhùnadh co-ionannachd mar a tha an co-aontar àbhaisteach. Gus seo a dhèanamh, feumaidh tu eadar na caochladairean:

Dn / dx = x * v;

Dn / n = xdx.

Sinn a 'gabhail an choileanta agus faigh sinn: rapal (n) = x ^2/2. An uair sin, ma tha sinn a 'cur an cèill' n:

n S = ^{x2 / 2.}

A-nis an àite na thoradh air co-aontar anns an dàrna cho-aontar:

k '* S ^{x2 / 2} x = ^2.

Agus cruth-atharrachadh, tha sinn a 'faighinn an aon cho-aontar mar anns a' chiad dòigh:

DK x = ^{2 /} S ^x2 / ^2.

Bidh sinn cuideachd a 'bruidhinn air gnìomh a bharrachd. Thathar ag ràdh gu bheil aig a 'chiad òrdugh-eadar-dhealachadh fuasgladh cho-aontaran ag adhbhrachadh duilgheadasan mòra. Ach, nas doimhne bogaidh ann an cuspair a 'tòiseachadh air fàs nas fheàrr is nas fheàrr.

Càite bheil eadar-dhealachadh cho-aontaran?

Fìor gnìomhach eadar-dhealachadh cho-aontaran a chleachdadh ann am fiosaig, mar a cha mhòr a h-uile bunaiteach laghan a tha sgrìobhta ann an riochd eadar-dhealachadh, agus an fheadhainn na foirmlean, gu bheil sinn a 'faicinn - fuasgladh air na co-aontaran. Ann an ceimigeachd, tha iad air an cleachdadh airson an aon adhbhar: bunaiteach laghan a tha a 'tighinn tro orra. Ann am bith-eòlas, an t-eadar-dhealachadh cho-aontaran a chleachdadh airson modalan a 'giùlan shiostaman, leithid creachadair - cobhartaich. Faodaidh iad cuideachd a bhith air a chleachdadh gus a chruthachadh modailean de leth-bhreacan, mar eisimpleir, na coloinidhean microorganisms.

Mar eadar-dhealachadh cho-aontaran a 'cuideachadh ann a beatha?

Tha an fhreagairt air a 'cheist seo a tha sìmplidh: dad. Mura bheil thu a saidheans no innleadair, chan eil e coltach gum bi iad feumail. Ach, chan eil a ghoirteachadh a-mach dè an t-eadar-dhealachadh co-aontar agus tha e fuasgladh airson an fharsaingeachd a leasachadh. Agus an uair sin a 'cheist a mac no nighean, "ciod an co-aontar-eadar-dhealachadh?" Chan eil chuir thu ann an crìch. Uill, ma tha saidheans no innleadair, an sin tha fios agad air cho cudromach 'chuspair seo ann an saidheans sam bith. Ach as cudromaiche, a tha nis a 'cheist "mar a fuasgladh an eadar-dhealachadh co-aontar den chiad òrdugh?" bidh thu an-còmhnaidh a bhith comasach air a thoirt seachad am freagairt. Ag aontachadh, tha e an-còmhnaidh math nuair a tha thu a 'tuigsinn gum dè tha daoine fiù' s eagal air a lorg a-mach.

Tha na prìomh dhuilgheadasan ann an rannsachadh

Tha a 'phrìomh dhuilgheadas anns an tuigse air a' chuspair seo a tha air an droch chleachdadh de dh'amalachadh eadar-dhealachadh agus gnìomhan. Ma tha thu mì-chofhurtail a 'gabhail troimh agus integrals, tha e' s dòcha luach a bharrachd ri ionnsachadh, a bhith ag ionnsachadh dòighean eadar-dhealaichte amalachadh agus eadar-dhealachadh, agus dìreach an uair sin a dhol air adhart gu sgrùdadh an stuth a tha air a mhìneachadh ann an aiste.

Tha cuid de dhaoine a 'gabhail iongnadh gu bheil dx faodar a ghluasad, mar a roimhe (san sgoil) ag argamaid gu bheil a' bhloigh dy / dx tha indivisible. An uair sin, feumaidh tu a 'leughadh air an litreachas air na fo-stuth agus a' tuigsinn gu bheil e na barailean neo-chrìochnach beag roimhe, a dh'fhaodas a bhith làimhseachadh ann am fuasgladh cho-aontaran.

Tha mòran dhaoine nach eil anns a 'bhad gur fuasgladh de eadar-dhealachadh cho-aontaran a' chiad òrdugh - tha seo gu tric obair no neberuschiysya riatanach, agus mealladh seo a 'toirt dhaibh tòrr trioblaid.

Dè eile a dh'fhaodar sgrùdadh gus tuigsinn nas fheàrr?

'S e as fheàrr gus tòiseachadh air tuilleadh bogaidh a-steach dhan t-saoghal de eadar-dhealachadh calculus de leabhraichean sònraichte, mar eisimpleir, ann am mion-sgrùdadh matamataigeach airson oileanaich neo-matamataigeach sònraichte. 'S urrainn dhut an uair sin a' gluasad gu an tuilleadh sònraichte litreachas.

Thathar ag ràdh gu bheil, a thuilleadh air an eadar-dhealachadh, tha fhathast riatanach co-aontaran, agus mar sin bidh thu daonnan rudeigin a tha a 'strì airson agus dè a rannsachadh.

co-dhùnadh

Tha sinn an dòchas gu bheil an dèidh a leughadh artaigil seo a gheibh sibh beachd air dè an eadar-dhealachadh cho-aontaran agus mar a fuasgladh iad ceart.

Ann an cùis sam bith, matamataig ann an dòigh sam bith feumail dhuinn sa bheatha. Tha e a 'leasachadh loidsig agus aire, gun a h-uile duine, mar gun làmhan.