A siostam sreathach ailseabra cho-aontaran. Homogeneous siostam sreathach ailseabra cho-aontaran

Aig an sgoil, gach dhuinn sgrùdadh an co-aontar, agus, gun teagamh, an t-siostam co-aontaran. Ach chan eil mòran dhaoine fios gu bheil grunn dhòighean airson ceistean orra. An-diugh bidh sinn a 'faicinn dìreach a h-uile dòighean airson fuasgladh siostam sreathach ailseabra cho-aontaran, a tha air a dhèanamh de chòrr is dà cho-aontaran.

sgeulachd

An-diugh, tha fios againn gu bheil an ealain a 'fuasgladh cho-aontaran agus an siostaman thòisich ann an seann Bhabiloin agus An Eiphit. Ach, co-ionannachd ann an cuid eòlach air an fhoirm-nochd dhuinn an dèidh a 'tachairt an co-ionnan soidhne "=", a chaidh a thoirt a-steach ann an 1556 le English chlàr-matamataig. Co-dhiù, seo samhla a chaidh a thaghadh airson adhbhar: tha ea 'ciallachadh an dà co-shìnte earrannan co-ionnan. Gu dearbh, an eisimpleir as fheàrr air co-ionannachd chan eil a 'tighinn suas.

Tha a stèidhich nuadh litreachadh agus samhlaidhean unknown ìre,-matamataig Frangach Fransua Viet. Ach, a sònrachadh gu math eadar-dhealaichte bho an-diugh. Mar eisimpleir, ceàrnagach de àireamh gun fhios e ainmeachadh leis an litir Q (Domhan-leud "quadratus".), Agus cube - an litir C (Domhan-leud "cubus".). Na samhlaidhean seo a-nis coltas mì-chofhurtail, ach an uair sin bha e a 'mhòr-chuid de a sgrìobhadh intuitive dòigh siostam de sreathach ailseabra cho-aontaran.

Ach, tha ana-cothrom ann an gnàth-dòighean fuasgladh a bha sin a-mhàin Mathematicians air beachdachadh air an deagh freumhan. 'S dòcha gu bheil seo air sgàth gu bheil àicheil luachan Chan eil iarrtas sam bith practaigeach. Aon dòigh no eile, ach a 'chiad fhear a bhith a' beachdachadh àicheil freumhan thòisich an dèidh an Eadailtis matamataig Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano agus Raphael Bombelli san t-16mh linn. A nuadh-sùil, na prìomh dòigh air fuasgladh ceàrnanach co-aontaran (tro discriminant) a stèidheachadh a-mhàin anns an 17mh linn tro obraichean Descartes agus Newton.

Ann am meadhan an 18mh linn Swiss matamataig Gabriel Cramer lorg dòigh ùr a dhèanamh de fuasgladh siostaman cho-aontaran sreathach nas fhasa. Tha an dòigh seo chaidh ainmeachadh an dèidh dha, agus gus an latha an-diugh a chleachdas sinn e. Ach air an dòigh Kramer òraid beagan an dèidh sin, ach a-nis bidh sinn a 'bruidhinn air co-aontaran sreathach agus na fuasglaidhean aca fa leth bho an t-siostam.

sreathach air co-aontaran

Linear co-aontaran - sìmplidh co-aontar le caochlaideach (s). A bhuineas iad an ailseabra. Linear cho-aontaran a sgrìobhadh ann an riochd choitcheann mar a leanas: ₁ * x ₁ + _{2 *} x + ₂ ... agus _n * x = _n b. Cur a-steach an fhoirm seo bidh sinn feum ann an deasachadh nan siostaman agus Matrices air.

A siostam sreathach ailseabra cho-aontaran

Tha mìneachadh air an teirm seo tha: seata de cho-aontaran a bheil cinnt cumanta agus an fhuasglaidh. Mar as trice, aig a h-uile sgoil fuasgladh siostam le dhà no trì eadhon co-aontaran. Ach tha siostaman le ceithir no barrachd phàirtean. Nach fhaicinn an toiseach mar a sgrìobh sìos iad mar sin an dèidh sin bha e goireasach gus ceistean. Sa chiad àite, an t-siostam sreathach ailseabra cho-aontaran a 'coimhead nas fheàrr ma tha na h-uile tha caochladairean air a sgrìobhadh mar x le co-fhreagarrach Clàr-ìnnse: 1,2,3 agus mar sin air. San dara àite, bu chòir stiùireadh a h-uile co-aontaran gu Canonical foirm: ₁ * x ₁ + _{2 *} x + ₂ ... agus _n * x = _n b.

An dèidh sin uile ceum, faodaidh sinn tòiseachadh gus innse dhuibh ciamar a gheibh a 'fuasgladh na siostaman cho-aontaran sreathach. Fìor mòran airson a thig feumail matrix.

matrix

Matrix - clàr a dhèanamh suas de shreath agus colbhan, agus a h-eileamaidean a tha aig an eadar-ghearradh. Faodaidh seo a bhith an dàrna cuid sònraichte luach no caochlaideach. Anns a 'chuid as motha de chùisean, eileamaidean a shònrachadh a tha air a chur air dòigh fon subscripts (me, tha ₁₁ no ₂₃ math). Tha a 'chiad Clàr-ìnnse' sealltainn an t-sreath uile, agus an dàrna fear - a 'chuilbh. Os cionn gu h-àrd agus mar Matrices sam bith eile matamataigeach eileamaid urrainn a 'dèanamh diofar obraichean. Mar sin, faodaidh sibh:

1) thoir air falbh agus cuir an aon meud a 'bhòrd.

2) Iomadaich na matrix gu àireamh sam bith no Vector.

3) Transpose: cruth-atharrachadh matrix sreathan anns an colbhan, agus na cuilbh - ann an loidhne.

4) Iomadaich na matrix, ma tha an àireamh de shreath a tha co-ionann ri aon dhiubh eadar-dhealaichte àireamh de cholbhan.

Gus beachdachadh mionaideach a h-uile de na dòighean seo, mar a tha iad feumail dhuinn san àm ri teachd. Toirt air falbh agus a thuilleadh air Matrices a tha gu math sìmplidh. Bho sinn a 'gabhail an aon mheud matrix, gach eileamaid den aon bhòrd a tha co-cheangailte ri gach eileamaid eile. Mar so tha sinn a 'cuir (thoir air falbh) a dhà de na h-eileamaidean sin (tha e cudromach gun robh iad a' seasamh air an aon thalamh ann an Matrices). Nuair a iomadachadh le àireamh de matrix no Vector thu dìreach iomadaich gach eileamaid de matrix le àireamh sin (no Vector). Transposition - glè inntinneach phròiseas. Fìor inntinneach uaireannan ga fhaicinn ann am fìor-bheatha, mar eisimpleir, nuair a tha ag atharrachadh an comhair a tablet no fòn. Tha ìomhaighean air an desktop a tha matrix, agus le atharrachadh ann an suidheachadh, tha e air a sheulachadh agus a 'fàs nas fharsainge, ach a' lùghdachadh ann an àirde.

Leig dhuinn sgrùdadh a dhèanamh tuilleadh pròiseas leithid matrix iomadachadh. Ged a tha e air innse dhuinn, agus nach eil e feumail, ach a bhith mothachail tha e fhathast feumail. Iomadaich dà Matrices fhaod ach fo chùmhnant gun robh an àireamh de cholbhan ann an aon chlàr a tha co-ionann ris an àireamh de sreathan eile. Nis a 'gabhail aon matrix loidhne eileamaidean agus eileamaidean eile de na co-fhreagarrach colbh. Iomadaich dhaibh ri chèile agus an uair sin an t-suim (i.e., mar eisimpleir, bathar-eileamaidean de ₁₁ agus _12, agus aig ₁₂ agus ₂₂ b b bhios co-ionann ris: a * b _{11 12} + ₁₂ * b agus _22). Mar sin, aon chlàr a 'phìos, agus an dòigh coltach ris a tha e air a lìonadh tuilleadh.

A-nis faodaidh sinn tòiseachadh a 'beachdachadh air mar a fuasgladh siostaman cho-aontaran sreathach.

Gauss

Tha seo a 'chuspair a thòisich a' gabhail àite aig an sgoil. Tha sinn gu math eòlach bun-bheachd "siostam dà sreathach air co-aontaran" agus ciamar a fuasgladh orra. Ach dè ma bhios an àireamh de cho-aontaran a tha nas motha na dà? Cuidichidh seo dhuinn Gauss dòigh.

Gu dearbh, tha an dòigh seo a goireasach a chleachdadh, ma tha sibh a 'dèanamh matrix an t-siostam. Ach chan urrainn dhut iompachadh e agus co-dhùnadh fhèin.

Mar sin, ciamar a fuasgladh e le siostam sreathach de cho-aontaran Gauss? Co-dhiù, fiù 's ged a bha an dòigh seo agus ainmeachadh às a dhèidh, ach lorg e anns na seann làithean. Gauss Tha an obrachadh a dhèanamh leis a 'cho-aontaran, gus mu dheireadh' toradh anns an totality gu Echelon fhoirm. 'S e sin, feumaidh tu top-sìos (ma ceart àite) bhon chiad mu dheireadh a' cho-aontar, chailleadh aon neo-aithnichte. Ann am briathran eile, feumaidh sinn dèanamh cinnteach gu bheil sinn a fhuair, ag ràdh, trì co-aontaran: a 'chiad - trì cinnt, ann an dàrna - dà anns an treas - aon. An uair sin, bho co-aontar mu dheireadh, tha sinn a 'lorg a' chiad neo-aithnichte, an àite a luach anns an dàrna no 'chiad cho-aontar, agus a bharrachd a lorg na tha air fhàgail dà caochladairean.

Cramer riaghladh

Airson a 'leasachadh an dòigh seo tha e deatamach a' daingneachadh an sgilean a bharrachd, toirt air falbh de Matrices, a thuilleadh air an fheum a bhith a 'lorg determinants. Uime sin, ma tha sibh mì-chofhurtail a 'dèanamh seo a h-uile no chan eil fhios agam ciamar, tha e riatanach a bhith ag ionnsachadh agus a bhith air an trèanadh.

Dè tha brìgh an dòigh seo, agus mar sin a dhèanamh, a dh'iarraidh siostam sreathach air co-aontaran Cramer? Tha e gu math sìmplidh. Feumaidh sinn a thogail matrix àireamhan (cha mhòr an-còmhnaidh) èifeachdan an siostam sreathach ailseabra cho-aontaran. Gus seo a dhèanamh, dìreach a ghabhail an àireamh de neo-aithnichte, agus tha sinn a 'cur air dòigh a' bhòrd ann an òrdugh a tha iad a chlàradh ann an siostam. Ma tha an làthair an àireamh tha soidhne "-", an uair sin sinn a 'sgrìobhadh àicheil coefficient. Mar sin, tha sinn a 'dèanamh a' chiad matrix an èifeachdan an cinnt, chan gabhail a-steach an àireamh an dèidh a 'cho-ionnan soidhne (gu dearbh, gu bheil an co-aontar a bhith air a lùghdachadh gu Canonical foirm nuair an làimh dheis tha e dìreach àireamh, agus air an làimh chlì - a h-uile cinnt le èifeachdan). An uair sin, feumaidh tu dèanamh beagan Matrices - aon airson gach caochlaideach. Airson an adhbhair seo, anns a 'chiad matrix tha an àite le aon colbh gach colbh àireamhan leis an èifeachdan an dèidh a' cho-ionnan soidhne. Mar so gheibh sinn beagan Matrices agus an uair sin a lorg determinants aca.

An dèidh a lorg sinn na qualifiers, tha e beag. Feumaidh sinn an toiseach matrix, agus tha grunn bunaichte Matrices, a tha a 'freagairt ri diofar chaochladairean. Airson faighinn a-siostam fuasgladh, tha sinn a 'roinn an dèanamh de thoradh an clàr air a' bhun-dhùnadh a 'bhùird. Tha an àireamh an luach a th fear caochlaideach. Mar an ceudna, tha sinn a 'lorg a h-uile cinnt.

dòighean eile

Tha grunn dhòighean ann gus fuasgladh fhaighinn air siostaman cho-aontaran sreathach. Mar eisimpleir, mar a theirear Gauss-Jordan dòigh, a tha air a chleachdadh airson a lorg fuasglaidhean air siostam an ceàrnanach cho-aontaran, agus cuideachd co-cheangailte ri cleachdadh an Matrices. Tha cuideachd Jacobi dòigh airson fuasgladh siostam sreathach ailseabra cho-aontaran. Tha e furasta ag atharrachadh a h-uile coimpiutairean agus ga chleachdadh ann an coimpiutaireachd.

cùisean iom-fhillte

Iom-fhillteachd mar as trice a 'tachairt ma tha an àireamh de cho-aontaran a tha nas lugha na an àireamh de caochladairean. An uair sin faodaidh sinn cinnteach gu bheil, no air an t-siostam a tha neo-chunbhalach (ie, aig nach eil freumhan), no an àireamh de cho-dhùnaidhean a 'cuallach a Infinity. Ma tha an dàrna cùis - tha e riatanach a bhith a 'sgrìobhadh coitcheann a fuasgladh an t-siostam cho-aontaran sreathach. Bidh e a 'gabhail a-steach co-dhiù aon caochlaideach.

co-dhùnadh

Sinn an so a 'tighinn gu deireadh. Airson geàrr-chunntas: Tha sinn air a bhith a 'tuigsinn dè an t-siostam matrix, a dh'ionnsaich a' lorg fuasgladh coitcheann siostam sreathach air co-aontaran. A thuilleadh air sin tha sinn a 'beachdachadh air roghainnean eile. Dh'obraich sinn a-mach ciamar a fuasgladh siostaman cho-aontaran sreathach: Gaussian cur às agus Cramer riaghladh. Bhruidhinn sinn mu dheidhinn cùisean doirbh agus dòighean eile a lorg fhuasglaidhean.

Gu dearbh, tha a 'chùis seo mòran nas fharsaing, agus ma tha sibh airson tuigse nas fheàrr a tha e, tha sinn comhairle a thoirt dhut tuilleadh a leughadh an sònraichte litreachas.