Freumhan an co-aontar ceàrnagach: brìgh ailseabra agus geoimeatrach

Ann an algebra, tha co-aontar ceàrnagach co-aontar dara òrdugh. Leis a 'cho-aontar tha sin a' ciallachadh abairt matamataig aig a bheil aon no barrachd neo-aithnichte na cho-sgrìobhadh. Tha co-aontar dàrna òrdugh na co-aontar matamataig aig a bheil co-dhiù aon cheàrnag anns a 'cheum neo-aithnichte. Is e an co-aontar ceàrnagach den dàrna òrdugh, an co-aontar air a lùghdachadh gu cruth dearbh-aithne co-ionann ri neoni. Fuasgail an co-aontar ceàrnag an aon rud a 'dearbhadh an freumhan ceàrnagach de na co-aontar. Co-aontar ceàrnagach àbhaisteach anns a 'chruth coitcheann:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

Far a bheil W, T, co-èifeachdan freumhan na co-aontar ceàrnagach;

Is e O an co-fhàs saor;

c - freumh ceàrnanach co-aontar (daonnan Tha dà luachan agus C1 C2).

Mar a chaidh ainmeachadh cheana, tha an duilgheadas a thaobh fuasgladh an co-aontar ceàrnagach a 'lorg freumhan an co-aontar ceàrnagach. Gus an lorg, feumar an neach-lethbhreith a lorg:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Tha feum air neach-mìnachaidh gus fuasgladh fhaighinn air an fhoirmle airson a bhith a 'lorg a' bhun-stèidh c1 agus c2:

C1 = (-T + √N) / 2 * W agus c2 = (-T - √N) / 2 * W

Ma tha co-aontar ceàrnagach de choitcheann anns a 'cho-fhàs aig bonn T, tha luach mòr ann, an uairsin cuiridh an co-aontar na leanas:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Agus tha a freumhan coltach ri abairt:

C1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W agus c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Glè thric dh'fhaodadh gum bi an co-aontar ann an cruth a tha beagan eadar-dhealaichte, nuair nach eil co-èifeachd aig c_2 W. Anns a 'chùis seo, tha an fhoirm aig an co-aontar gu h-àrd:

C ^ 2 + F * c + L = 0

Far a bheil F an coefficient aig a 'bhun-stèidh;

Is e L an co-fhàs saor;

c - freumh an ceàrnagach (daonnan Tha dà luachan agus C1 C2).

Is e an co-aontar seo a chanar ris an t-seòrsa co-aontar seo. Chaidh an t-ainm "lùghdaichte" bhon fhoirmle lùghdachaidh de cho-aontar ceàrnagach àbhaisteach, ma tha an co-fhàs aig bun-stèidh W aon. Anns a 'chùis seo, tha freumhan an co-aontar ceàrnagach:

C1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] agus c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

A thaobh luach eadhon an coefficient aig bun-stèidh F, bidh fuasgladh aig na freumhaichean:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Ma bhios sinn a 'bruidhinn mu dheidhinn ceàrnanach cho-aontaran, tha e riatanach a chuimhneachadh Theorem de Vieta. Tha e ag ràdh gu bheil na riaghailtean a leanas ann airson co-aontar nas lugha ceàrnagach:

C ^ 2 + F * c + L = 0

C1 + c2 = -F agus c1 * c2 = L

Anns an co-aontar ceàrnagach coitcheann, tha freumhan an co-aontar ceàrnagach co-cheangailte ris na h-eisimeileachd:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

C1 + c2 = -T / W agus c1 * c2 = O / W

A-nis leigamaid beachdachadh air na h-atharrachaidhean a dh'fhaodadh a bhith ann de cho-aontaran ceàrnagach agus na fuasglaidhean aca. Dh'fhaoidte gum bi dithis aca, bho mura h-eil ball c_2 ann, cha bhi an co-aontar ceàrnagach tuilleadh. Mar sin:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Mion-atharrachadh den cho-aontar ceàrnagach gun coefficient saor (teirm).

Is e am fuasgladh:

W * c ^ 2 = -T * c

C1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 An diofar dhen co-aontar ceàrnagach gun an dàrna teirm, nuair a tha freumhan an co-aontar ceàrnagach co-ionnan ann an làn luach.

Is e am fuasgladh:

W * c ^ 2 = -O

C1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

B 'e seo uile ailseabra. Beachdaich air a 'bhrìgh geoiméadrach a tha aig an co-aontar ceàrnagach. Tha an co-aontar dàrna òrdugh ann an geoimeatraidh ag innse mun obair parabola. Do dh'oileanaich àrd-sgoile, is e an duilgheadas gu tric mar a lorgas tu freumhan an co-aontar ceàrnagach? Tha freumhan an co-aontar seo a 'toirt beachd air mar a tha grafa na dreuchd (parabola) a' dol an aghaidh axis co-chomharran - abscissas. Ma tha, a 'fuasgladh an co-aontar ceàrnagach, gheibh sinn fuasgladh neo-riaghailteach de na freumhaichean, agus cha bhi rèiteachadh sam bith ann. Ma tha aon luach corporra aig a 'bhun-stèidh, bidh an obair a' dol tarsainn air aiseag abscissa ann an aon àite. Ma tha dà fhreumh, an uair sin, fa leth, - dà phuing eadar-aghaidh.

Bu chòir a thoirt fa-near gu bheil frith-rathad neo-riaghailteach a 'ciallachadh luach àicheil fon fhrith-rathad, nuair a lorgas e freumhaichean. Is e an ciall chorporra luach dearbhach no àicheil sam bith. Mura h-eil ach aon fhrèam air a lorg, thathar a 'meas gu bheil na freumhaichean mar an ceudna. Faodar stiùireadh an lùb air an siostam co-òrdanachaidh Cartesian a dhearbhadh cuideachd le co-èifeachdan freumhaichean W agus T. Ma tha luach dearbhach aig W, tha an dà dhuilleag den parabola a 'toirt suas àirde. Ma tha luach àicheil aig W, an sin - sìos. Cuideachd, ma tha soidhne dearbhach aig coefficient B, fhad 'sa tha W dearbhach cuideachd, tha eadar-theangachadh na parabola taobh a-staigh "y" bho "-" neo-chrìochnach gu "infinity", "c" bho "neo-chrìochnach" gu "neoni". Ma tha T na luach dearbhach, agus tha W na luach àicheil, an uair sin air taobh eile an axis abscissa.