MacLaurin lobhadh agus cuid de ghnìomhan

Sgrùdadh adhartach matamataig a bu chòir a bhith mothachail gu bheil an t-suim de chumhachd an t-sreath anns an ceada de aomadh àireamh de dhuinn, a tha leantainneach agus uiread de amannan iomadaichte gnìomh. Tha ceist ag èirigh: a bheil e comasach a ràdh gu bheil a thoirt neo-fuincsean f (x) - 'S e an t-suim de chumhachd an t-sreath? 'S e sin, fo dè na cùmhnantan an f-tiùiriche f (x) a chur air a riochdachadh le cumhachd an t-sreath? Tha cho cudromach 'sa chùis seo gu bheil e comasach a chur an àite mu £ Dhiadhachd f (x) a tha an sùim a' chiad beagan thaobh cumhachd an t-sreath, a tha abairt iomadh-theirmeach. A leithid sin a chur an àite obair gu math sìmplidh a chur an cèill - abairt iomadh-theirmeach - 'S e goireasach agus ann am fuasgladh duilgheadasan sònraichte ann an anailis matamataigeach, ' se sin ann am fuasgladh obrachadh a-mach nuair a integrals -eadar-dhealachadh cho-aontaran , etc ...

Tha e air a dhearbhadh, gun do chuid de f-ii f (x), anns an fo-stuthan de na (n + 1) -th òrdugh Faodar obrachadh a-mach, a 'gabhail a-steach as ùire ann an nàbachas (α - R; x ₀ + R) puing x = α cothromach foirmle tha:

Foirmle seo air ainmeachadh às dèidh an saidheans ainmeil Brooke Taylor. Tha grunn a tha bunaichte air an fhear roimhe, tha an t-ainm a MacLaurin t-sreath:

A riaghailt a tha comasach a thoirt gu buil leudachadh ann an MacLaurin t-sreath:

1. Obraich a-mach fo-stuthan a 'chiad, an dàrna, an treas, ... òrdugh.
2. Obraich a-mach dè tha troimh aig x = 0.
3. Clàr MacLaurin sreath airson a 'ghnìomh seo, agus an uair sin gu co-dhùnadh an ceada de aomadh.
4. Obraich a-mach ceada (-R; R), far a bheil an iarmadach phàirt de foirmle MacLaurin

R _n (x) -> 0 airson n -> Infinity. Ma tha aon ann, tha e fuincsean f (x) a dh'fheumas a bhith co-ionann ris an t-suim de na MacLaurin sreath.

Beachdaich air a-nis mun t-sreath airson gnìomhan fa leth.

1. Mar sin, a 'chiad a bhith air f (x) = S ^x. Gu dearbh, gu bheil an cuid feartan cho-f IA air tighinn diofar òrduighean, agus f ^{(k) (x)} = S ^x, far a bheil k co-ionann ris a h-uile àireamhan nàdarra. Substitute x = 0. Faigh sinn f ^{(k) (0)} S = ⁰ = 1, k = 1.2 MB ... Stèidhichte air na cumhaichean seo, tha grunn S ^x Bidh e mar a leanas:

2. MacLaurin sreath airson an fuincsean f (x) = pheacaidh x. Dìreach sònrachadh gur f-tiùiriche airson a h-uile unknown troimh bi, a thuilleadh air f ^'(x) = cos x = peacadh (x + n / 2), ^{f' (x)} = -sin x = peacadh (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = peacadh (x + k * n / 2), far a bheil k co-ionann ris sam bith deagh integer. 'S e sin, a' dèanamh àireamhachadh sìmplidh, faodaidh sinn a cho-dhùnadh gu bheil an t-sreath airson f (x) = pheacaidh x bi mar seo:

3. A nis leig a 'beachdachadh air f iju-f (x) = cos x. 'S e neo-aithnichte airson a h-uile fo-stuthan de neo-òrdugh, agus ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 MB ... A-rithist, tha e an dèidh a bhith a 'dèanamh cuid de àireamhachadh, lorg sinn gun robh an t-sreath airson f (x) = cos x a' coimhead mar seo:

Mar sin, tha sinn air an liostadh na feartan as cudromaiche a dh'fhaodas a bhith air a leudachadh ann an MacLaurin t-sreath, ach tha iad a 'cur an Tàilleir an t-sreath airson cuid de ghnìomhan. A-nis bidh sinn a 'ainmich iad cho math. Bu chòir a bhith mothachail cuideachd gu bheil Taylor sreath agus MacLaurin t-sreath a tha na phàirt chudromach de na bùth-obrach an t-sreath de cho-dhùnaidhean ann an àrd-matamataig. Mar sin, Taylor sreath.

1. Tha a 'chiad sreath de f-ii f (x) = rapal (1 + x). Mar eisimpleirean ann roimhe, airson seo tha sinn f (x) = rapal (1 + x) Faodar pasgadh àireamh, a 'cleachdadh an riochd choitcheann MacLaurin sreath. ach airson am feart seo a MacLaurin Gheibhear mòran nas fhasa. 'Ceangal geoimeatrach an t-sreath, tha sinn a' faighinn grunn airson f (x) = rapal (x + 1) de shampall:

2. Agus an dara fear, a bhios air chuairt dheireannach ann an artaigil seo, bidh sreath airson f (x) = arctg x. Airson x a bhuineas do ceada [-1; 1] 'S e dligheach lobhadh:

Sin uile. Anns an aiste seo tha mi air a thomhas a 'chuid as motha a chleachd Mac an Tàilleir an t-sreath agus MacLaurin ann an sreath Matamataig Àrd-ìre, gu sònraichte ann an eaconamach agus colaistean teicnigeach.