Differentials - dè tha seo? Ciamar a gheibh thu an-eadar-dhealachadh na dreuchd?

Còmhla ri troimh dreuchdan aca differentials - tha e cuid de na bun-bheachdan den eadar-dhealachadh calculus, a 'phrìomh earrann de anailis matamataigeach. Mar ceangal dlùth, an dà chuid dhiubh grunn linntean a chleachdadh gu bitheanta ann am fuasgladh cha mhòr a h-uile duilgheadasan a dh'èirich anns a 'chùrsa saidheansail agus teicnigeach ghnìomhachd.

Nochd an eadar-dhealachadh bun-bheachd

Airson a 'chiad uair a rinn e soilleir gu bheil a leithid a-eadar-dhealachadh, fear de na stèidheadairean (còmhla ri Isaakom Nyutonom)-eadar-dhealachadh calculus-matamataig ainmeil Gearmailteach Gotfrid Vilgelm Leybnits. Roimhe sin Mathematicians 17mh linn. a chleachdadh gu fìor shoilleir agus neo-shoilleir beachd cuid de infinitesimal "undivided" sam bith a aithnichte ghnìomh, a 'riochdachadh luach cunbhalach glè bheag ach chan eil co-ionnan ri neoni, gu h-ìosal a tha a' cur luach air a 'ghnìomh nach urrainn a bhith dìreach. Uime sin, b 'e a-mhàin aon cheum a-steach beachdan air infinitesimal ceuman de ghnìomh agus argamaidean aca ceuman de na gnìomhan a dh'fhaodas a chur an cèill a thaobh fo-stuthan de na fhear mu dheireadh. Agus a 'cheum seo a chaidh a thogail aig an aon àm cha mhòr os cionn an dà mhòr-saidheans.

Stèidhichte air an fheum airson dèiligeadh ri èiginn practaigeach cuspairean meacanaigeach trioblaidean a tha mu choinneamh saidheans gu luath a 'leasachadh gnìomhachas agus teicneòlas, Newton agus Leibniz chruthaich cumanta dòighean a lorg gnìomhan an ìre atharrachaidh (gu h-àraidh a thaobh meacanaigeach luaths a' chuirp an ainm slighe), a thug a-steach a leithid sin de na bun-bheachdan, mar-thà gum gnìomh agus eadar-dhealachadh, agus mar an ceudna fhuair an algairim mhiùtach duilgheadas fuasglaidhean mar ainm per se (caochlaideach) astaran a 'dol tarsainn a lorg an t-slighe a tha air a stiùireadh le bun-bheachd an riatanach Ala.

Ann an oibribh Leibniz agus Newton chiad smuain a nochd e gun robh an differentials - 'S e co-roinneil ris an ceum an argamaidean bunaiteach Δh ceuman Δu gnìomhan a dh'fhaodas a bhith soirbheachail ann an cur an gnìomh gus obrachadh a-mach an luach aig an fhear mu dheireadh. Ann am briathran eile, tha iad air lorg gu bheil an ceum gnìomh a dh'fhaodadh a bhith aig àm sam bith (taobh a-staigh àrainn na definition) a chur an cèill tro a sìolach an dà chuid Δu = y '(x) Δh + αΔh far α Δh - còrr, a' buachailleachd a neoni mar Δh → 0, fada nas luaithe na na fìor Δh.

A rèir an fheadhainn a stèidhich matamataigeach mion-sgrùdadh, a 'differentials - tha seo dìreach a' chiad theirm ann an ceuman sam bith a choileanadh. Fiù 's gun a bhith soilleir a' chrìoch bun-bheachd ruithean intuitively bheilear a 'tuigsinn gu bheil an eadar-dhealachadh luach na fo-stuth buailteach a bhith ag obrachadh nuair a Δh → 0 - Δu / Δh → y' (x).

Eu-coltach ri Newton, a bha sa mhòr-chuid fiosaics agus innleachdan matamataigeach a meas mar neach-cuideachaidh inneal airson ionnsachadh na duilgheadasan corporra, Leibniz a 'pàigheadh barrachd aire air acainn seo, nam measg siostam lèirsinneach agus matamataigeach a thuigsinn samhlaidhean luachan. B 'e esan a' moladh an ìre comharradh de differentials gnìomh dy = y '(x) dx, dx, agus na fo-stuth den argamaid mar dhleastanas na dàimh aca y' (x) = dy / dx.

Tha an latha an-diugh definition

Dè an eadar-dhealachadh a thaobh nuadh matamataig? Tha e co-cheangailte gu dlùth ri bun-bheachd an caochladair ceum. Ma tha an caochladair y gabhail luach chiad y y = _1, an sin y = y _2, an t-eadar-dhealachadh y ₂ ─ y ₁ Canar an ceum luach y. Tha an ceum urrainn a bhith deimhinneach. àicheil agus neoni. Tha am facal "ceum" a shònrachadh Δ, Δu clàradh (leughadh 'delta y') Ceart luach an ceum y. mar sin Δu y = y _{1 2 ─.}

Ma tha luach Δu tràighte gnìomh y = f (x) a dh'fhaodadh a bhith air an riochdachadh mar Δu = A Δh + α, far a bheil A eil eisimeil air Δh, t. E. A = const airson a thoirt x, agus an ùine α nuair Δh → 0 buailteach a tha e fiù 's nas luaithe na na fìor Δh, agus an uair sin a' chiad ( "mhaighstir") a Δh ùine co-roinneil, agus tha e airson y = f (x)-eadar-dhealachadh, sgrìobhadh dy no DF (x) (a 'leughadh "y de", "de eff bho X"). Uime sin differentials - a "phrìomh" sreathach, le spèis do na co-phàirtean de ceuman Δh dreuchdan.

meacanaigeach mìneachadh

Leig S = f (t) - an t-astar ann an loidhne dhìreach a 'gluasad stuth puing bhon chiad suidheachadh (t - siubhail ùine). Ceum Δs - 'S e an t-slighe a' phuing aig àm-ceada Δt, agus an t-eadar-dhealachadh DS = f '(t) Δt --slighe seo, a tha a' phuing a bhiodh a chumail airson an aon àm Δt, ma tha e air a chumail an t-astar f '(t), a ruighinn ann an àm an t- . Nuair a infinitesimal Δt DS mac-meanmnach frith-rathad eadar-dhealaichte bho na fìor Δs infinitesimally a bhith nas àirde a thaobh Δt. Ma tha an t-astar aig an àm t Chan eil e co-ionnan ri neoni, tuairmseach a 'toirt luach DS beag leiteachas phuing.

geoimeatrach eadar-mhìneachadh

Leig an loidhne L a bheil an graf y = f (x). An sin Δ x = MQ, Δu = QM '(fhaicinn. Figear gu h-ìosal). Tangent MN briseadh Δu a ghearradh ann an dà phàirt, agus QN NM '. A 'chiad Δh agus tha co-roinneil QN = MQ ∙ TG (ceàrn QMN) = Δh f' (x), t. QN S e dy-eadar-dhealachadh.

Tha an dàrna pàirt den eadar-dhealachadh Δu NM'daet ─ dy, nuair a Δh → 0 NM fad 'lughdachadh fiù' s nas luaithe na an ceum den argamaid, sin, tha òrdugh nan smallness nas àirde na Δh. Anns a 'chùis seo, ma f' (x) ≠ 0 (neo-shìnte beantan damh) earrannan QM'i QN co-ionann; ann am faclan eile NM 'lughdachadh gu luath (an òrdugh smallness a' àirde) na iomlan ceum Δu = QM '. Tha seo follaiseach ann am Figear (a 'tighinn dlùth earrann M'k M NM'sostavlyaet a h-uile àireamh sa cheud nas lugha QM' roinn).

Mar sin, grafaigean-eadar-dhealachadh neo-ghnìomh co-ionann ris an ceum na òrdanachadh de na beantan.

Sìolach agus eadar-dhealachadh

A bàillidh anns a 'chiad teirm labhairt ceum obair co-ionnan ri luach a sìolach f' (x). Mar sin, a thaobh na leanas - dy = f '(x) Δh no DF (x) = f' (x) Δh.

Tha fios gu bheil an ceum an argamaid neo-eisimeileach a tha co-ionnan ri eadar-dhealachadh a Δh = dx. Mar sin, faodaidh sinn sgrìobhadh: f '(x) dx = dy.

A'faighinn a-(uaireannan ag ràdh gur e "co-dhùnadh") differentials Tha e a 'cluich le na h-aon riaghailtean airson fo-stuthan. Tha liosta dhiubh air a thoirt seachad gu h-ìosal.

Dè tha nas coitchinne: an ceum den argamaid no a-eadar-dhealachadh

An seo tha e riatanach a dhèanamh air cuid de soillearachadh. Riochdachadh luach f '(x)-eadar-dhealachadh Δh ghabhas nuair a thathar a' beachdachadh x mar argamaid. Ach a 'ghnìomh a bhith iomadh-fhillte, anns a bheil x a bhith dhreuchd an t-argamaid. An sin a 'riochdachadh eadar-dhealachadh a chur an cèill f' (x) Δh, mar riaghailt, tha e do-dhèanta; ach a-mhàin ann an cùis sreathach eisimeileachd x = aig + b.

Mar a foirmle f '(x) dx = dy, an uair sin ann an suidheachadh neo-eisimeileach argamaid x (dx = Δh an uair sin) ann an cùis a' parametric eisimeileachd x t, tha e eadar-dhealachadh.

Mar eisimpleir, air an abairt 2 x Δh airson y = x ² a-eadar-dhealachadh nuair x 'S e an argamaid. Tha sinn a-nis a 't x = ² agus a' gabhail an t-argamaid. Sin x y = ² = ^{4 t.}

Tha seo air a leantainn le (t + Δt) ² + ² = t 2tΔt Δt + ^2. Uime sin Δh = 2tΔt Δt + ^2. Uime sin: 2xΔh = ² 2t (2tΔt + Δt ^2).

Tha seo a 'cur an cèill nach eil e co-roinneil a Δt, agus mar sin tha a-nis 2xΔh nach eil eadar-dhealachadh. Faodaidh e bhith air a lorg bho an co-aontar y = x ² = ^{4 t.} Tha e co-ionnan dy = 4t ³ Δt.

Ma ghabhas sinn an abairt 2xdx, tha e an-eadar-dhealachadh y = x ² airson argamaid sam bith a t. Gu dearbh, nuair a tha x = ² fhaighinn t dx = 2tΔt.

So 2xdx = ² 2t 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Tha an abairt differentials a chlàradh le dà diofar chaochladairean an aon àm.

An àite ceuman differentials

Ma f '(x) ≠ 0, agus an uair sin Δu dy co-ionann (nuair Δh → 0); ma f '(x) = 0 (brìgh agus dy = 0), chan eil iad co-ionann.

Mar eisimpleir, ma y = x ^2, an sin Δu = (x + Δh) ² ─ x + ² = 2xΔh Δh ² agus dy = 2xΔh. Ma tha x = 3, an uair sin tha sinn a 'Δu = 6Δh + Δh ² agus dy = 6Δh a tha co-ionann air sgàth Δh ² → 0, nuair a tha x = 0 luach Δu = Δh ² agus dy = 0 nach eil co-ionann.

Tha seo a 'dearbh, còmhla ris an structar sìmplidh an eadar-dhealachadh (m. E. Linearity a thaobh Δh), air a chleachdadh tric ann an tuairmseach àireamhachadh, air a' bharail gum Δu ≈ dy airson beag Δh. Lorg an eadar-dhealachadh obair mar as trice nas fhasa seach a obrachadh a-mach an luach mionaideach aig an ceum.

Mar eisimpleir, tha sinn a 'cube meatailt le faobhar x = 10.00 cm. Air a' teasachadh an iomall fhaide air Δh = 0,001 cm. Ciamar barrachd cube leabhar V? Tha sinn a 'V = x ^2; mar ^sin, DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Gearran 0/01 = 3 ^{(3 cm).} Meudachadh ΔV co-ionann ri eadar-dhealachadh DV mar sin, ΔV = 3 cm ^3. Làn-àireamhachadh bheireadh ΔV = 10,01 ─ ³ de 10 ³ = 3.003001. Ach mar thoradh air a h-uile meuran-aireamh ach a-mhàin a 'chiad neo-earbsach; Mar sin, tha e fhathast riatanach gus an cruinneachadh suas ri 3 cm ^3.

Gun teagamh, an dòigh seo feumail a-mhàin ma tha e comasach air tuairmse a dhèanamh air an luach a oideachadh le mearachd.

-Eadar-dhealachadh gnìomh: eisimpleirean

Nach feuch an lorg thu an t-eadar-dhealachadh na dreuchd y = x ^3, a 'lorg an sìolach. Leig dhuinn a thoirt seachad argamaid ceum Δu agus mìneachadh.

Δu = (x + Δh) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

An seo, tha coefficient A = 3x ² Chan eil an crochadh air Δh mar sin, a 'chiad ùine co-roinneil a tha Δh, na bhall eile 3xΔh Δh ² + ³ nuair a Δh → 0 lughdachadh nas luaithe na an ceum den argamaid. Mar sin, ball de 3x ² Δh 'S e eadar-dhealachadh y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx no d ^{(3 x)} = 3x ² dx.

Anns an d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy sinn a-nis a 'lorg an gnìomh y = 1 / x le fo-stuth. An sin d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Uime sin dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials bunaiteach ailseabra fhoincsean an-seo.

Tuairmeas àireamhachadh bhith a 'cleachdadh eadar-dhealachadh

Gus measadh a dhèanamh air fuincsean f (x), agus a fo-stuth f '(x) aig x = a tha tric duilich, ach aon rud a dhèanamh ann an nàbachas x = Chan eil e furasta a. An sin a 'tighinn a chuideachadh a' tuairmseach a chur an cèill

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Tha seo a 'toirt tuairmseach luach na dreuchd aig ceuman beaga tro a-eadar-dhealachadh Δh f' (a) Δh.

Mar sin, tha am foirmle seo a 'toirt thuairmseach a chur an cèill airson na dreuchd aig deireadh a' phuing cuibhreann de dh'fhaid Δh mar suim a luach aig a 'phuing tòiseachaidh de an cuibhrionn (x = a) agus an eadar-dhealachadh anns an aon àite-tòiseachaidh. Neo-mhearachdachd an dòigh airson co-dhùnadh an luachan an gnìomh gu h-ìosal a 'sealltainn an dealbh.

Ach aithnichte agus an dearbh abairt airson luach an gnìomh x = a + Δh a thoirt seachad le foirmle crìochnach ceuman (no, ma thogras Lagrange aig foirmle)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

far a bheil a 'phuing x = a + ξ tha ann an ceada bho x = a gu x = a + Δh, ged a tha dearbh-suidheachadh a th' neo-aithnichte. Tha dearbh foirmle a 'toirt cothrom gus measadh a dhèanamh mearachd tuairmseach foirmle. Ma tha sinn air a chur ann an Lagrange foirmle ξ = Δh / 2, ged nach stadadh e gu bhith neo-mhearachdach, ach a 'toirt, mar riaghailt, mòran nas fheàrr na an dòigh-obrach tùsail a chur an cèill a thaobh an eadar-dhealachadh.

Luachadh foirmlean mearachd le cur a-steach eadar-dhealachadh

Tomhas-ionnstramaidean , ann am prionnsabal, mearachdach, agus a thoirt gu tomhas dàta a rèir a 'mhearachd. Tha iad air an comharrachadh le tinneas bacaidh an iomlan mearachd, no, ann an ghoirid, a 'cuingealachadh error - deimhinneach gu soilleir, nas àirde na an mearachd ann iomlan luach (no aig a' mhòr-chuid co-ionnan ri e). Bacaidh buntainneach mearachd goirear an quotient fhaighinn le bhith a 'roinneadh e le luach iomlan de na thomhais luach.

Leig dearbh foirmle y = f (x) a chleachdadh gus gnìomh vychislyaeniya y, ach luach x 'S e an tomhas a thoradh, agus mar sin a' toirt an y mhearachd. An uair sin, a 'lorg an cuingealachadh iomlan mearachd │Δu│funktsii y, a' cleachdadh foirmle

│Δu│≈│dy│ │ = f '(x) ││Δh│,

far │Δh│yavlyaetsya oireach mearachd argamaid. │Δu│ meud feumar crìoch suas, mar mearachdach àireamhachadh fhèin a chur an àite an ceum air an eadar-dhealachadh àireamhachadh.