-Eadar-dhealachadh calculus dreuchdan aon agus grunn caochladairean

-Eadar-dhealachadh calculus 'S e meur de matamataigeach mion-sgrùdadh, a' sgrùdadh fo-stuth, differentials agus iad a 'cleachdadh ann an rannsachadh a choileanadh.

Tha an sgeulachd

-Eadar-dhealachadh calculus nochdadh mar neo-eisimeileach smachd anns an dàrna leth den 17mh linn, a 'toirt taing do obair Newton agus Leibniz, a chèile bunaiteach ullachaidhean ann an àireamhachadh de differentials agus mhothaich a' cheangal eadar amalachadh agus eadar-dhealachadh. Bho e smachd a leasachadh còmhla ri àireamhachadh de integrals, mar sin a 'ciallachadh bunait an anailis matamataigeach. Tha coltas de na calculi ùr fhosgladh nuadh-ùine anns an t-saoghal matamataigeach agus dh'adhbharaich a 'Chogaidh cuspairean ùra ann an saidheans. Cuideachd a 'leudachadh an comas bhith a' cleachdadh matamataig ann an saidheansan nàdarra agus einnseanaireachd.

bun-bheachdan

Calculus-eadar-dhealachadh a tha stèidhichte air na bun-bheachdan bunaiteach de matamataig. Tha iad: na fìor àireamh, leantainneachd agus crìoch gnìomh. An dèidh ùine, tha iad air a ghabhail nuadh-sùil, taing don eadar-dhealachadh choileanta agus calculus.

Tha am pròiseas a 'cruthachadh

Formation an eadar-dhealachadh ann an calculus an fhoirm iarrtais, agus an uair sin a 'saidheansail dòigh thachair ron a' Chogaidh feallsanachail teòiridh, a chaidh a chruthachadh le Nikolay Kuzansky. Tha an obair aige a 'beachdachadh air a bhith an leasachadh mean bho seann saidheans a' Bhreitheanais. A dh'aindeoin 's gu bheil na feallsanachd fhèin cha robh matamataig, a' cur ri leasachadh matamataigeach saidheans ge-tà. Cusa, aon de na chiad mach às a 'beachdachadh air an cunntas mar as ceart saidheans, math a' cur a-steach an àm cheist.

Ann an seann Mathematicians choitcheann slat-tomhais a bha e aonad, fhad 'sa thathar a' moladh feallsanachd ùr mar tomhas Infinity till an aireamh. Ann an co-cheangal ri seo inverted riochdachadh de mhionaideachd ann an matamataigeach saidheans. Saidheans eòlas, a 'bheachd aige, tha an roinn ann an reusanta agus tùrail. Tha an dàrna tuilleadh ceart, a rèir an saidheans, bho na bha roimhe a 'toirt a-mhàin tuairmseach toraidhean.

beachd

Tha an làrach bhunaiteach a 'bheachd agus a' bhun-bheachd eadar-dhealachadh calculus co-cheangailte ris a 'ghnìomh ann an beag choimhearsnachd cuid de phuingean. Airson seo tha e riatanach a chruthachadh airson obrachadh matamataigeach a 'chlàir-eòlas aig a bheil an giùlan ann an nàbachd beag de na puingean a chur faisg air an giùlan sreathach gnìomh no abairt iomadh-theirmeach. Stèidhichte air a 'mhìneachadh seo air fo-stuth agus eadar-dhealachadh.

Tha nochd am bun-bheachd na fo-stuth a bha air adhbhrachadh le àireamh mhòr de na duilgheadasan saidheansan nàdarra agus matamataig, a lean gu co-dhùnadh crìoch luachan den aon seòrsa.

Aon de na prìomh ghnìomhan a tha air an toirt seachad mar eisimpleir, a 'tòiseachadh leis an sgoil as sine ann an clasaichean, a tha a' dearbhadh an luaths a 'ghluasaid puing ann an loidhne dhìreach agus togail na loidhne aig a' bheantan ris an lùb seo. Tha eadar-dhealachadh co-cheangailte ri seo, bhon a tha e comasach airson a bhith faisg air an gnìomh ann an beag faisg air a 'phuing sreathach de ghnìomh.

An coimeas ri bun-bheachd sìolach de ghnìomh aig fìor caochlaideach, a 'mhìneachadh differentials dìreach a' dol seachad air a 'ghnìomh coitcheann nàdar, gu h-àraidh an ìomhaigh de Euclidean rùm gu fear eile.

sìolach

Leig a 'phuing' gluasad ann an stiùireadh an y-axis, airson na h-ùine a bheir sinn x, a tha air a thomhas bho thoiseach an tiotan. Thoir iomradh air a leithid a gluasad 'S e comasach le bhith a dhreuchd y = f (x), a tha co-cheangailte ri gach àm puing x' co-òrdanachadh displaceable phuing. A 'ghnìomh seo a' ghairm a ghabhail ann an cuspairean meacanaigeach lagh gluasad. Tha a 'phrìomh fheart a' gluasad, gu h-àraidh mì-chòmhnard, tha an instantaneous velocity. Nuair a bhios a 'phuing a ghluasad sìos an y-axis a rèir an lagh an cuspairean meacanaigeach, an thuaiream àm puing Fhuair e co-òrdanachadh x f (x). Anns an àm puing x + Δh, far Δh a 'riochdachadh an ceum na h-ùine, bidh e kordinaty f (x + Δh). Mar a chruthachadh foirmle Δy = f (x + Δh) - f (x), a tha ris an canar ceum gnìomh. 'S e puing de na frith-rathad a' dol tarsainn aig àm bho x ri x + Δh.

Ann an co-cheangal ri na thachair an velocity aig àm sìolach a rianachd. Tha fo-stuth sam bith a dhreuchd aig stèidhichte puing ris an canar crìoch ( 'gabhail ris gur e th' ann). Faodar iomradh a thoirt air cuid de na caractaran:

f '(x), y', y, DF / dx, dy / dx, DF (x).

Tha am pròiseas obrachadh a-mach a 'gairm air fo-stuth eadar-dhealachadh.

-Eadar-dhealachadh calculus de dhreuchdan de ghrunn chaochladairean

Tha an dòigh seo obrachadh a-mach nuair a thathar a 'cur gnìomh ionnsachaidh, grunn caochladairean. Nuair a tha dà caochladairean x agus y, na pàirt sìolach a thaobh x aig a 'phuing A Canar fo-stuth seo ann an gnìomh le x stèidhichte y.

Dh'fhaodadh a bhith air an comharrachadh le samhlaidhean a leanas:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x agus ∂f (x, y) '/ ∂x.

sgilean a tha a dhìth

Gus soirbheachail ag ionnsachadh agus a bhith comasach air ceistean a fhreagairt diffury feum air sgilean ann an amalachadh agus eadar-dhealachadh. Gus a dhèanamh nas fhasa a bhith a 'tuigsinn an eadar-dhealachadh cho-aontaran, a bhith a' tuigsinn a 'chuspair air fo-stuth agus indefinite riatanach. Cuideachd chan eil leòn a bhith ag ionnsachadh a 'coimhead airson fo-stuth fillte a-staigh an gnìomh. Tha seo mar thoradh air gu bheil anns a 'phròiseas ionnsachaidh a bhios tric a' cleachdadh integrals agus eadar-dhealachadh.

Seòrsachan eadar-dhealachadh co-aontaran

Cha mhòr a h-uile smachd air obair co-cheangailte ris a 'chiad òrdugh-eadar-dhealachadh cho-aontaran, tha 3 sheòrsaichean de cho-aontaran: homogeneous, air an sgaradh le caochladairean, sreathach inhomogeneous.

Tha cuideachd barrachd ghnèithean a tha tearc air co-aontaran le uile gu lèir differentials, Bernoulli aig co-aontar, agus feadhainn eile.

bhunaitean fuasglaidhean

Airson rannsachaidh, bu chòir dhuinn cuimhne a tha ailseabra a 'cho-aontar de sgoil chùrsa. Tha iad anns na caochladairean agus àireamhan. Ann an òrdugh gus fuasgladh fhaighinn air a 'cho-aontar àbhaisteach bu chòir a lorg gu leòr àireamhan a shàsachadh sònraichte staid. Mar as trice, tha na co-aontaran a bheil aon fhreumh, agus airson dearbhaidh a-mhàin a bu chòir luach an àite seo ann an àite neo-aithnichte.

Tha eadar-dhealachadh co-aontar tha coltach ris an seo. Anns an fharsaingeachd, cho-aontar den chiad òrdugh gabhail a-steach:

• Neo-eisimeileach caochlaideach.
• Tha fo-stuth a 'chiad ghnìomh.
• Dleastanas no an crochadh caochlaideach.

Ann an cuid de chùisean, dh'fhaoidte nach eil aon neo-aithnichte, no x y, ach chan eil e cho cudromach 'sa tha e riatanach gu bheil a' chiad fo-stuth, agus chan eil nas àirde òrdugh troimh chun an fhuasglaidh, agus an eadar-dhealachadh calculus a bha fìor.

Fuasgail an co-aontar-eadar-dhealachadh - tha e a 'ciallachadh a' lorg an seata de a h-uile gnìomhan a tha freagarrach a thoirt seachad a chur an cèill. A leithid seataichean ghnìomhan a tha canar gu tric coitcheann fuasgladh smachd.

riatanach calculus

Riatanach calculus S e aon de na h-earrannan matamataigeach mion-sgrùdadh, a 'sgrùdadh bun-bheachd bunaiteach, feartan agus dhòighean-obrach a àireamhachadh.

Gu tric an àireamhachadh na riatanach a 'tachairt nuair obrachadh a-mach na sgìre de curvilinear cumadh. Le seo a 'ciallachadh crìoch sgìre, a dh'ionnsaigh a bheil ro-shuidhichte sgìre an snaidheadh Polygon cumadh le àrdachadh mean air mhean ann a làmh, agus an dàta taobh a dh'fhaodadh a bhith air a dhèanamh nas lugha na sam bith roimhe seo a shònrachadh tràighte beag luach.

Tha am prìomh smuain ann an àireamhachadh na sgìre sam bith a geoimeatrach Tha cumadh obrachadh a-mach na sgìre de ceart-cheàrnach, agus an uair sin tha fianais ann gu bheil an sgìre co-ionann ris a 'bhathar a' dh'fhaid leis an leud. Nuair a thig e gu geoimeatraidh, agus an uair sin a h-uile togalaichean air an dèanamh a 'cleachdadh riaghladair agus combaist, agus an uair sin a' co-mheas de dh'fhaid a leud tha reusanta luach. Nuair obrachadh a-mach an sgìre triantan ceart-a-mach ma tha thu a 'cur ath triantan ceart-cheàrnach a chruthachadh. Ann an sgìre na parallelogram tha obrachadh a-mach anns an aon, ach beagan nas iom-fhillte dòigh, taobh a-staigh ceart-cheàrnach agus triantan. Ann an sgìre a thathar a 'beachdachadh le Polygon thriantan gabhail a-steach ann.

Ann an co-dhùnadh an tròcair tràighte, dòigh seo eil a 'freagairt lùb. Ma tha sinn a bhriseadh e a-steach ceàrnagan fa leth, bidh e fhathast unfilled àiteachan. Anns a 'chùis seo, a' feuchainn ri cleachdadh dà chòta, le ceart-cheàrnaich gu h-àrd agus gu h-ìosal, mar thoradh air an fheadhainn a 'gabhail a-steach an graf na dreuchd agus nach eil a' gabhail a-steach. Cudromach an seo, tha dòigh a bhriseadh na ceart-cheàrnachan. Cuideachd, ma tha sinn a 'gabhail fois air an lùghdachadh barrachd is barrachd, tha an sgìre a' mhullach agus aig a 'bhonn a bu chòir a' coinneachadh air a leithid luach.

Bu chòir till don dòigh airson sgaradh a-steach ceart-cheàrnaich. Tha dà-chòrdte dhòighean-obrach.

Riemann Chaidh foirmeil definition an riatanach, a chruthachadh le Leibniz agus Newton, mar an sgìre subgraph. Sa chùis seo, tha sinn a 'beachdachadh air figear anns a bheil àireamh shònraichte de dìreach ceart-cheàrnaich fhaighinn le bhith a' roinn an ceada. Nuair a bhios a 'briseadh a lùghdachadh tha crìochan ann gu bheil an sgìre a lùghdachadh leithid de figear,' chrìoch seo ris an t-Riemann riatanach de dhleastanas aig a shònrachadh ceada.

Chaidh an dàrna dòigh a tha a thogail an Lebesgue riatanach, le ann gu bheil ann an àite dealachaidh sgìre ainmichte air phàirt de integrand agus a 'cur ri chèile an uair sin riatanach suim de na luachan fhaighinn anns na criochan seo, aig àm a roinn a raon de luachan, agus an uair sin cèill le co-fhreagarrach air ceumannan mhiùtach ìomhaighean de na integrals.

nuadh AIDS

Aon de na prìomh bhuannachdan airson a 'sgrùdadh eadar-dhealachadh agus calculus riatanach Fikhtengol'ts Sgrìobh - "an t-eadar- dhealachadh agus calculus riatanach." Bha leabhar-teacsa a tha bunaiteach inneal airson ionnsachadh matamataigeach mion-sgrùdadh, a tha a 'seasamh mòran deasachaidhean agus eadar-theangachaidhean gu cànanan eile. A chruthachadh do dh'oileanaich agus airson ùine fhada a chleachdadh ann an diofar ionadan foghlaim mar aon de na prìomh bhuannachdan de sgrùdadh. Tha ea 'toirt teòiridheach fiosrachadh agus sgilean practaigeach. A 'chiad fhoillseachadh ann an 1948.

Algorithm rannsachadh gnìomh

Gus sgrùdadh a dhèanamh air na dòighean eadar-dhealachadh calculus gnìomh, feumaidh tu leantainn mar-thà a thoirt algairim:

1. Lorg àrainn na dreuchd.
2. Lorg freumhan an co-aontar a thoirt seachad.
3. Obraich a-mach cho fada. Gus seo a dhèanamh, tha sinn an obrachadh a-mach fo-stuth agus a 'phuing far a bheil e co-ionnan ri neoni.
4. Tha sinn an àite luach fhaighinn ann EQ.

Seòrsaichean eadar-dhealachadh co-aontaran

Smachd air a 'chiad òrdugh (eile, eadar-dhealachadh calculus aon caochlaideach) agus an seòrsa:

• Le sgaradh caochladairean co-aontar: f (y) dy = g (x) dx.
• Tha an co-aontar sìmplidh 'no eadar-dhealachadh calculus ghnìomh aig an aon caochlaideach, a bhith a' foirmle: y '= f (x).
• Tha a 'chiad sreathach-òrdugh nonuniform smachd: y' + D (x) y = Q (x).
• Bernoulli-eadar-dhealachadh cho-aontar: y '+ D (x) y = Q (x) y a.
• Co-aontar uile gu lèir differentials le: D (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Tha eadar-dhealachadh co-aontaran de dara òrdugh agus an seòrsa:

• Homogeneous sreathach dara òrdugh eadar-dhealachadh co-aontar le ^{sìor-èifeachdan: y n + py '+ qy} = 0 p, q Buinidh R.
• Inhomogeneous sreathach dara òrdugh eadar-dhealachadh co-aontar le sìor-èifeachdan ^{luach: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeneous sreathach-eadar-dhealachadh ^{cho-aontar: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, agus inhomogeneous dara òrdugh ^{a' cho-aontar: y n + p (x)} y '+ q (x) y = f (x).

-Eadar-dhealachadh cho-aontaran àrd-òrdughan agus an seòrsa:

• Tha eadar-dhealachadh co-aontar, a 'leigeil lùghdachadh an ^{òrdugh: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A sreathach co-aontar a 'àirde òrdugh ^{_{homogeneous: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + ₁ f y' f + ₀ y = 0, agus ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + ₁ f y 'f + ₀ y = f (x).

Ìrean de fuasgladh air an trioblaid leis an t-eadar-dhealachadh co-aontar

Le cuideachadh iomallach smachd air am fuasgladh a-mhàin Chan eil matamataig no corporra air fhuasgladh, ach cuideachd na diofar dhuilgheadasan de bith-eòlas, eaconamas, sòiseo-eòlas agus eile. A dh'aindeoin an raon farsaing de chuspairean, a bu chòir a leantainn an aon loidsig òrdugh airson fuasgladh air na duilgheadasan sin:

1. Dealbh suas smachd. Aon de na h-ìrean as duilghe, a tha a 'cur feum air neo-mhearachdachd a' char as àirde, a chionn sam bith mearachd a 'leantainn gu tur ceàrr toraidhean. Tha e riatanach aire a ghabhail a h-uile nithean a 'toirt buaidh air a' phròiseas agus co-dhùnadh a 'chiad h. Bu chòir cuideachd a bhith stèidhichte air fìrinn agus loidsigeach co-dhùnaidhean.
2. Airson a 'fuasgladh cho-aontaran. Tha am pròiseas seo nas fhasa a bhith a 'chiad phuing, bhon a' cur feum a-mhàin teann buileachadh matamataigeach àireamhachadh.
3. Mion-sgrùdadh agus measadh air na toraidhean. Bunaichte fuasgladh a bu chòir a bhith air a mheasadh airson a 'stàladh practaigeach agus teòiridh luach air an toradh.

Tha eisimpleir de chleachdadh na co-aontaran-eadar-dhealachadh ann an eòlas-leighis

Cleachdadh an iomallach smachd ann an achadh-leighis a lorg ann an togail de epidemiological matamataigeach a 'mhodail. Cha bu chòir dhuinn dìochuimhneachadh gu bheil sin co-aontaran a tha cuideachd ann an ceimigeachd agus bith-eòlas, a tha faisg air a 'chungaidh-leighis, oir tha e pàirt chudromach aig a' sgrùdadh diofar bith-eòlasach àireamhan agus pròiseasan ceimigeach ann an corp an duine.

Anns an eisimpleir seo, tha an galar air sgaoileadh faodaidh galar a làimhseachadh ann an coimhearsnachd iomallach. Tha an luchd-àiteachaidh air an roinn ann an trì seòrsa:

• Galair, an àireamh de x (t), a tha air a dhèanamh suas de dhaoine fa leth, a 'giùlan gabhaltach, gach aon a tha gabhaltach (altraim e an ùine ghoirid).
• Tha an dàrna seòrsa gabhail a-steach daoine fa leth buailteach y (t), faodar galair le bhith a 'conaltradh le galar.
• Tha an treas seòrsa gabhail a-steach daoine fa leth refractory z (t), a tha a 'dìon no a chall air sgàth tinneas.

Àireamh de dhaoine a sgur, a 'cumail breith, bàs nàdarra agus imrich Chan eil beachdachadh. Aig cridhe bidh dà bheachd-bharail.

Percent galar aig àm air choireigin 'phuing a tha co-ionnan ri x (t) y (t) (stèidhichte bharail air a' bheachd gu bheil an àireamh de chùisean anns a 'cho-roinn ris an àireimh de gobhal eadar euslaintich agus freagairteach buill, a' chiad approximation tha co-roinneil a x (t) y (t)), ann an Mar sin tha an àireamh de chùisean a tha a 'meudachadh, agus an àireamh de buailteach lùghdachaidh aig ìre a tha air obrachadh a-mach leis a' foirmle tuagh (t) y (t) (a> 0).

Àireamh neo-freagairt beathaichean a bhàsaich no a fhuair dìonachd, barrachd aig ìre a tha co-roinneil ris an àireamh de chùisean, bx (t) (b> 0).

Mar thoradh air sin, faodaidh sibh a stèidheachadh siostam de cho-aontaran a h-uile trì comharran air stèidh co-dhùnaidhean aca.

EISIMPLEIR cleachdadh eaconamachd

-Eadar-dhealachadh calculus a chleachdadh tric ann an sgrùdadh eaconamach. Tha a 'phrìomh obair anns a' mion-sgrùdadh eaconamach a tha air a bhith a 'rannsachadh luachan an eaconamaidh, a tha air a chlàradh ann an cruth na dreuchd. Tha e air a chleachdadh ann am fuasgladh cheistean leithid atharrachaidhean ann an teachd a-steach àrdachadh chìsean dìreach an dèidh, inntrig cìsean, atharrachaidhean ann an teachd a-steach nuair a bhios ag atharrachadh an luach na bathar, ann an dè a 'chuibhreann Faodar àite a' leigeil dheth a dhreuchd luchd-obrach le uidheam ùr. Gus fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan leithid sin, tha feum air a thogail conaltradh gnìomh nan caochladairean tighinn a-steach, a tha, an dèidh a bhith air a sgrùdadh le eadar-dhealachadh calculus.

tha e glè thric riatanach a lorg a 'chuid as fheàrr coileanadh ann an eaconamach cruinne: as àirde tron cinneasachd, an teachd a-steach as àirde, co-dhiù cosgais agus mar sin air adhart. Tha gach co-phàirt a leithid 'S e gnìomh nan aon no barrachd argamaidean. Mar eisimpleir, a 'dèanamh faodar a mheas mar ghnìomh-obrach agus calpa. Ann an ceangal seo, a 'faighinn luach freagarrach a dh'fhaodas a bhith air a lùghdachadh gu' lorg an 'char as motha no as lugha de dhleastanas air aon no barrachd caochladairean.

A leithid duilgheadasan a chruthachadh clas extremal duilgheadasan eaconamach ann an achadh, airson a dh'fheumas sibh eadar-dhealachadh calculus. Nuair a tha an comharra eaconamach a tha a dhìth gus lùghdachadh no a bharrachadh mar dhleastanas de pharamadairean eile, an ceum co-mheas as àirde tron phuing gnìomh gus na h-argamaidean a bhios buailteach a neoni ma tha an ceum den argamaid buailteach a neoni. A chaochladh, nuair a leithid giùlan mar as trice gu dearbhach no àicheil a luach, a 'phuing a shònrachadh nach eil e freagarrach, oir le bhith a' meudachadh no a 'lùghdachadh an argamaid faodar atharrachadh an urra ri luach ann an miannaichte a stiùireadh. Anns an eadar-dhealachadh calculus briathrachas, bhiodh seo a 'ciallachadh gum feum na h-obair airson a' char as àirde a neoni luach a sìolach.

Tha an eaconamaidh neo-chumanta duilgheadas a 'lorg an extremum de dhleastanas de ghrunn chaochladairean, a chionn taisbeanairean eaconamach air an dèanamh suas mòran de nithean. Cùisean sin a tha air an deagh thuigsinn ann an teòiridh gnìomhan de ghrunn chaochladairean, an dòigh air obrachadh a-mach an t-eadar-dhealachadh. A leithid trioblaidean gabhail a-steach chan e mhàin air a mheudachadh agus air a lùghdachadh gnìomh, ach cuideachd air an cuingealachadh. Tha na ceistean a 'buntainn ri prògraman matamataigeach, agus tha iad air am fuasgladh le cuideachadh a dh'aona-ghnothach a leasachadh dhòighean-obrach a tha cuideachd stèidhichte air a' mheur seo de saidheans.

Am measg nan dòighean eadar-dhealachadh calculus a chleachdadh ann an eaconamaidh, an earrann cudromach 'sa tha an deuchainn deireannach. Ann an eaconamach cruinne, tha an teirm a 'buntainn ri seata de dhòighean rannsachaidh caochlaideach coileanaidh agus toraidhean nuair a dh'atharraicheas tu an tomhas-lìonaidh a' cruthachadh, a 'caitheamh, stèidhichte air mion-sgrùdadh a' chrìoch luachan aca. Bacaidh chomharra beachdachadh air fo-stuth no an partial troimh le grunn caochladairean.

-Eadar-dhealachadh calculus de ghrunn chaochladairean - chudromach cuspair matamataigeach mion-sgrùdadh. Airson rannsachadh mionaideach, faodaidh sibh a 'cleachdadh measgachadh de taicean teagaisg airson àrd-fhoghlaim. Aon den fheadhainn as ainmeile a chruthachadh Fikhtengol'ts - "an t-eadar- dhealachadh agus calculus riatanach." Cia mòr an t-ainm airson a 'fuasgladh cho-aontaran-dhealaichte de cudromach gu bheil na sgilean a bhith ag obair le integrals. Nuair a tha eadar-dhealachadh calculus dreuchdan aon caochlaideach, an co-dhùnadh a 'fàs nas fhasa. Ged a tha, bu chòir a thoirt fa-near, tha e a 'leantainn na h-aon riaghailtean bunaiteach. Ann an cleachdadh, gus sgrùdadh a dhèanamh air obair a '-eadar-dhealachadh calculus, dìreach a' leantainn a th 'ann mar-thà algairim, a tha air a thoirt seachad ann an àrd-sgoil, agus chan eil ach beagan toinnte le toirt a-steach ùr caochladairean.